Position relative de deux droites parallèles

Le plan est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)\).

Définition

Deux droites du plan sont parallèles si elles ont la même direction.
Deux droites parallèles sont soit confondues, soit strictement parallèles.

Propriété

Deux droites du plan sont parallèles si et seulement si un vecteur directeur de l'une est colinéaire à un vecteur directeur de l'autre.

Exemple

Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Soit \(d\) et \(d'\) deux droites d'équations cartésiennes respectives \(2x+5y+1=0\) et \(6x+15y-7=0\).
Ainsi, un vecteur directeur de la droite \(d\) est \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -5\\ 2\\ \end{pmatrix}\) et un vecteur directeur de la droite \(d'\) est \(\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -15\\ 6\\ \end{pmatrix}\).
On remarque que l'on a \(\overrightarrow{v} = 3 \times \overrightarrow{u}\) et donc les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\)  sont colinéaires.
Par conséquent, les droites \(d\) et \(d'\) sont parallèles.

Propriété

Soit \(d\) et \(d'\) deux droites d'équations cartésiennes respectives \(ax+by+c=0\) et \(a'x+b'y+c'=0\).
Les droites \(d\) et \(d'\) sont parallèles si et seulement si il existe un réel \(k\) tel que \(\begin{cases} a^{\prime} = k \times a\\ b^{\prime} = k \times b\\ \end{cases}\).
Si de plus, on a également \(c^{\prime} = k \times c\) alors les droites \(d\) et \(d'\) sont en réalité confondues.

Démonstration

Soit \(d\) et \(d'\) deux droites d'équations cartésiennes respectives \(ax+by+c=0\) et \(a'x+b'y+c'=0\). Le vecteur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b\\ a \\ \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de la droite \(d\) et le vecteur \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -b^{\prime}\\ a^{\prime} \\ \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de la droite \(d^{\prime}\). Ainsi, on a les équivalences suivantes :
\(d \parallel d^{\prime} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} \text{ et } \overrightarrow{v} \text{ sont colineaires} \Leftrightarrow \text{il existe } k \in \mathbb{R} \text{ tel que } \overrightarrow{v} = k \times \overrightarrow{u} \Leftrightarrow \begin{cases} a^{\prime} = k \times a \\ b^{\prime} = k \times b\\ \end{cases}\)
Supposons de plus que l'on a \(c^{\prime} = k \times c\). Une équation cartésienne de la droite \(d\) est \(ax+by+c=0\) soit \(k \times (ax+by+c) = 0\) soit \(a^{\prime} x + b^{\prime} y + c^{\prime} = 0\) en développant. Donc une équation cartésienne de la droite \(d\) est une équation cartésienne de la droite \(d^{\prime}\) et les deux droites sont confondues.

Propriété

Soit \(d\) et \(d'\) deux droites d'équations réduites respectives \(y=mx+p\) et \(y=m'x+p'\).
Les droites \(d\) et \(d'\) sont parallèles si et seulement si on a \(m=m'\).
Si de plus, on a \(p=p'\), alors les droites \(d\) et \(d'\) sont confondues.

Exemple

Les droites \(\color{green}{d_1}\) et \(\color{red}{d_2}\) ont le même coefficient directeur, mais des ordonnées à l'origine différentes.
Donc les droites \(\color{green}{d_1}\) et \(\color{red}{d_2}\) sont strictement parallèles.